Download e-book for kindle: Analytische und projektive Geometrie für die by Bodo Pareigis

By Bodo Pareigis

Die laptop Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den computing device erschlossen werden. Die computing device Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der machine Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der computing device Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der laptop Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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F: A —• B, so daß (F, /) bzw. eine affine = b gilt. Seien a £ A und 6 £ B. D a n n gilt F(v affine Räume und sei f: V —• W eine Seien a £ A und b £ B zwei beliebige Punkte aus A Dann gibt es genau eine Abbildung BEWEIS: 41 • lineare Abbildung. B. + F(a) und Matrizenumformungen f{r(a,v W i r definieren F(a') := / ( r ( a , a')) + b. 13 ( F , / ) eine affine Abbildung. 71 Es gilt sogar F(a) ) = b. Weiterhin zeigt die obige Gleichung, daß F durch / , a und b eindeutig bestimmt ist. 15 haben wir einen vollständigen Uberblick über die Menge der affinen Abbildungen Afi{A,B) = {(F,f):(A,V,r) W i r halten zunächst a £ A fest.

Ist f : V —> insbesondere also f~ (w) 1 f~ {w) l BEWEIS: 1 f(v") — f(v) und ist v G f~ (w), 1 nicht leer, so gilt = v + K e r n ( / ) = {v + v'\v' G K e r n ( / ) } . Sei v' G K e r n ( / ) . also ist v + v' G f~ (w). W eine lineare Abbildung Dann gilt f(v -f v') = f(v) -f f(v') Ist nun umgekehrt v" G f~ (w) 1 ) = w + 0 = so gilt f(y" w, — v) — — w — w = 0, also ist v' := v" — v G K e r n ( / ) . Damit erhält man aber v" = v + (v" — v) = v + v £ v + K e r n ( / ) . Das war zu zeigen. • 1 W i r haben also insbesondere gesehen, daß K e r n ( / ) — / ( 0 ) g i l t .

Wegen 0 < (v,v) • (w,w) = (v,w) 2 ist dann auch (v,w) ^ 0. Wir rechnen 0 = (v,v) - 2(v,v) + (v,v) \>) v v 2 / + 7 v r r—i (tu, w) Da die Bilinearform positiv definit ist, folgt dann v — ((v,v)/(v,w)) Damit sind v und w linear abhängig. Mit dieser Ungleichung können wir jetzt die Eigenschaften der Norm beweisen. 6 S a t z . den • w — 0. • Für die Norm in einem euklidischen Vektorraum V gelten die folgen- Rechenregeln: 1) ||Av|| = |A||H| für alle A G R und alle v G V; 2) \\v + tu|| < ||v|| + für alle v,w G V (Dreiecksungleichung); 3) aus ||v|| = 0 folgt v = 0.

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Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik by Bodo Pareigis


by George
4.1

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